Postulat Kesejajaran Euclid

Euclid adalah seorang ahli logika ternama telah menyatakan bahwa perubahan perkembangan teori geometri non Euclid dapat kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid. Seiring dengan kepercayaan ahli matematika bahwa geometri non Euclid hanya memungkinkan untuk teori ruang dan yang menjelaskan segala sesuatunya secara fisik. Tetapi posisi unik geometri Euclid di abad 19 telah diserang oleh penemuan geometri non Euclid. Dan banyak ahli matematika sangat terguncang. Ide tentang kealamian geometrid an posisi unik geometri Euclid yang telah di lakukan sepanjang dua ribu tahunan, akhirnya runtuh pada decade 1820-1830.
Awal abad 19 ahli matematika yang berkompeten berhasil diyakinkan bahwa masalahnya tentang postulat telah diselesaikan dan hanya sedikit memiliki kekurangan dalam pembuktiannya. Kegagalan setiap percobaan dalam membuktikan postulat kesejajaran tersebut membawa pada perngakuan bahwa postulat kesejajaran tidaklah pasti. Dan bahwa teori geometri lainnya (non Euclid )bias saja digunakan. Selanjutnya dalam bab ini akan dijelaskan 3 upaya penting dalam membuktikan postulat kesejajaran Euclid.

1. Struktur Geometri Bidang Euclid
Postulat sejajar Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :
“ Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180°. Garis tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut”

Sejumlah asumsi/postulat untuk geometri bidang Euclid , yaitu :
1. Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama yang lainnya
2. Jika kesamaan di tambahkan dengan kesamaan maka jumlahnya akan sama
3. Jika kesamaan di kurangi dengan kesamaan maka selisihnya akan sama
4. Keseluruhan akan lebih besar dari bagiannya
5. Bangun geometric dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya
6. Setiap sudut memiliki bisector ( garis bagi )
7. Setiap segmen memiliki titik tengah
8. Dua titik hanya berada pada satu-satunya garis
9. Sembarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan
10. Lingkaran dapat di gambarkan dengan sembarang titik pusat dan radius yang diketahui
11. Semua sudut siku-siku sama besar

Dari postulat-postulat ini, dapat di deduksi sejumlah teorema dasar diantaranya :
1. Sudut bertolak belakang sama besar

Bukti 1 :
1.Lukis garis l dan m sejajar
2.Garis transversal h memotong tegak lurus l dan m di P dan Q
3. P = Q (postulat ke 11)
4. P = 1 (postulat ke 11)
5. P dan 1 dua sudut bertolak belakang, jadi sudut bertolak belakang sama besar (terbukti)

Bukti 2 :
1. Ada B sehingga B € g
2. Ada C sehingga C € g
3. Analog untuk D dan E € l
4. BAD + BAE = 180° (Postulat garis pelurus)
    CAE + BAE = 180°
5. ( BAD + BAE ) – ( CAE + BAE ) =180° – 180° (postulat 3)
    BAD – CAE = 0
    BAD = CAE
    (terbukti sudut bertolak belakang sama besar)

2. Sifat kongruensi segitiga (SAS, ASA, SSS)

Bukti : Sifat kongruensi segitiga (ASA )

1. Lukis ΔABC dan ΔPQR sehingga A= P
    B = Q dan AB = PQ
2. Pindahkan Δ ABC pada Δ PQR sehingga A
    berimpit dengan P, B berimpit Q dan AB
    berimpit pada PQ maka C berimpit pada R
    dan C = R ( postulat 5)

3. Teorema kesamaan sudut alas segitiga sama kaki dan konversinya

Bukti :

Diberikan Δ ABC dgn AC = BC, akdib
   A = B
1.Lukis garis bagi C (aksioma 6)
2.Perpanjang garis bagi tersebut hingga memotong AB di D (aksioma 9)
3.Dalam Δ ACD dan Δ BCD, AC=BC, 1= 2 (aksioma 6), CD=CD (berimpit), sehingga Δ ACD kongruen
   dengan Δ BCD (S-A-S)
4.Jadi A = B (sudut yang berkoresponden sama besar) (terbukti )
   Dan sebaliknya jika diberikan Δ ABC dengan A = B maka AC = BC

Bukti :
1. Lukis garis bagi C sehingga 1 = 2 (aksioma 6)
2. Karena A = B dan 1 = 2 maka ADC = BDC
3. Δ ADC kongruen dengan Δ BDC sehingga AC = BC (terbukti)

4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut
5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal
6. Pembentukan suatu sudut yang sama, dengan sudut, dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikan
    sebelumnya
7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang
    diketahui

TEOREMA 1 : Teorema Sudut Eksterior (luar)
Sudut eksterior segitiga akan lebih besar daripada sudut interior (dalam) terpencil (berjauhan) manapun.

Bukti :
ABC = Segitiga sembarang
D = Perpanjangan AB melalui B
Akdib : ACB < CBD

Bukti :
1. E pada BC sehingga BE = EC
    ( aksioma 7 )
2. F pada perpanjangan AE shg AE = EF (aksioma 7)
3. AEC = FEB (bertolak belakang) ( postulat 1 )

Jadi Δ AEC kongruen dengan Δ FEB
( SAS )
ACE = FBE
FBE < EBD
ACE < EBD
Jadi ACB < CBD terbukti

TEOREMA 2 :
Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan maka garis tersebut sejajar.

BUKTI :

1. Diberikan garis l dan m
2. Garis transversal h memotong l dan m di A dan B sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam
    berseberangan yaitu 1 dan 2 yang sama besar

3. Misal l dan m tidak sejajar berarti akan bertemu di C dan terbentuk Δ ABC (hipotesis)
4. C terletak di depan sisi AB
5. 1 AQP
6. APR = AQP (Aksioma 11, sudut siku-siku sama besar)
7. Jadi l = m

Kesimpulan : Ada tepat satu l sehingga l tegak lurus g , A € l , A € g ( terbukti ).

Corollary 3 : ( Eksistensi garis sejajar )
Jika titik P tidak berada pada garis l maka akan ada setidaknya satu garis yang melalui P yg sejajar dengan l

Bukti :
1. Lukis garis l
2. Titik P di luar garis l
3. Lukis garis dari P yang tegak lurus l dan memotong l di Q
4. Melalui titik P lukis garis m yang tegak lurus PQ
5. m sejajar l ( corollary 1 )

TEOREMA 3
Jumlah dua sudut pada segitiga kurang dari 180°

BUKTI :

ABC = segitiga sembarang
Akdib : B + C ACB (teorema 1)

CBD > ACB dan CBD = 180° – CBA
180° – CBA > ACB
180° > CBA + ACB
Atau 180° > B + C
B + C < 180 ° ( TERBUKTI)

Ekivalensi Postulat Euclid Dan Playfair

Postulat Euclid :
“ Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180°. Garis tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut”

Postulat Playfair :
“ Hanya ada satu garis sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebut”

Mengasumsikan postulat sejajar Euclid kita deduksi postulat Playfair
1.Diberikan garis l dan titik P bukan pada l
2.Akan ada garis melalui P sejajar l (corollary 3), misal m
3.Dari P ditarik garis tegak lurus l dengan kaki Q
4. Lukis garis n melalui P (n≠m)
5. Jika 1 adalah siku-siku maka n berimpit dengan m (berlawanan dengan asumsi) maka 1 = lancip
    Jadi 1 + Q < 180°

Mengasumsikan postulat Playfair kita deduksi postulat sejajar Euclid
1. Diberikan garis l dan m
2. l dan m di potong oleh garis transversal h di P dan Q sehingga membentuk sudut interior 1 dan 2
    1 + 2 < 180° (postulat Euclid)
    1 + 3 = 180° jadi 2 2 sehingga RP ≠ m

= ================================00oo00=================================




Sumber : http://www.ercbase.co.cc/2010/10/postulat-kesejajaran-euclid.html